等差数列的前n项和公式和与函数的关系

2021-12-19 16:08

一、等差数列的前$n$项和公式和与函数的关系

1、等差数列的前$n$项和公式

(1)等差数列${a_n}$的首项为$a_1$,公差为$d$,则其前$n$项和为:$S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+frac{n(n-1)d}{2}$。

①等差数列的前$n$项和公式$S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}$与梯形的面积公式$S_{梯形}=frac{(上底+下底)×高}{2}$类似,这里的“上底”是$a_1$,“下底”是$a_n$,“高”是项数$n$。

②$S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+frac{n(n-1)d}{2}$公式中涉及的量有区别,应根据已知条件零活选用。

(2)已知$S_n$,可以求得$a_n=egin{cases}S_1,n=1,S_n-S_{n-1},ngeqslant2,end{cases}$同时要检验$a_1$是否满足$a_n(ngeqslant2)$的表达式。若满足,则可以合并;若不满足,则要写成分段形式。

2、等差数列的前$n$项和公式与函数的关系

公式$S_n=na_1+frac{n(n-1)d}{2}$可进一步变形为$S_n=na_1+frac{n^2}{2}d-frac{n}{2}d=$$frac{d}{2}n^2+left(a_1-frac{d}{2} ight)n$。若令$A=frac{d}{2}$,$B=a_1-frac{d}{2}$,则有$S_n=An^2+Bn$。

(1)这是等差数列前$n$项和公式的另一种表达式。

(2)当$A≠0$,即$d≠0$时,该式是关于$n$的二次函数,即$(n,S_n)$在$y=Ax^2+Bx$的图象上。因此,当$d≠0$时,$(1,S_1)$,$(2,S_2)$,$(3,S_3)$,$cdots$,$(n,S_n)$是抛物线$y=Ax^2+Bx$上的一群离散的点。因此,由二次函数的性质可得结论:当$d>0$时,$S_n$有最小值;当$d<0$时,$S_n$有最大值。

(3)$frac{S_n}{n}=frac{d}{2}n+left(a_1-frac{d}{2} ight)$是关于$n$的一次函数或常数。

3、等差数列前$n$项和的性质

若等差数列${a_n}$的公差为$d$,前$n$项和为$S_n$,则

(1)数列$S_k$,$S_{2k}-S_k$,$S_{3k}-S_{2k}$,$cdots$$(k∈mathbf{N}^*)$是等差数列,且公差为$k^2d$。

(2)在等差数列${a_n}$中,若$S_n=m$,$S_m=n$,$m≠n$,则有$S_{m+n}=-(m+n)$。

(3)在等差数列${a_n}$中,若$S_n=S_m$,$m≠n$,则$S_{m+n}=0$。

(4)数列$egin{Bmatrix}dfrac{S_n}{n} end{Bmatrix}$为等差数列,首项为${a_n}$的首顶,公差为$frac{d}{2}$。

(5)若${a_n}$,${b_n}$都为等差数列,$S_n$,$T_n$分别为它们的前$n$项和,则$frac{a_m}{b_m}=frac{S_{2m-1}}{T_{2m-1}}$。

(6)若等差数列的项数为$2n$$(n∈mathbf{N}^*)$,则$S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$,且$S_偶-S_奇=nd$,$frac{S_偶}{S_奇}=frac{a_{n+1}}{a_n}$。若等差数列的项数为$2n-1(n∈mathbf{N}^*)$,则$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$($a_n$为中间项),且$S_奇-S_偶=a_n$,$frac{S_偶}{S_奇}=frac{n-1}{n}$(其中$S_奇=na_n$,$S_偶=(n-1)a_n$)。

二、等差数列的前$n$项和的相关例题

记$S_n$为等差数列${a_n}$的前$n$项和。已知$S_4=0$,$a_5=5$,则___

A.$a_n=2n-5$

B.$a_n=3n-10$

C.$S_n=2n^2-8n$

D.$S_n=frac{1}{2}n^2-2n$

答案:A

解析:由已知可得$egin{cases}S_4=4a_1+frac{d}{2}×4×3=0,a_5=a_1+4d=5,end{cases}$解得$egin{cases}a_1=-3,d=2。end{cases}$$∴a_n=2n-5$,故选A。

智选大学

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