台山一中2024届高三第一次月考数学试题
2023-08
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合
、
，利用交集的定义可求得集合
.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：B.
2. 已知i为虚数单位，若复数
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的运算化简复数
，再求共轭复数即可.
【详解】因为
，所以
.
故选：B.
3. “
”是“方程
有正实数根”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点
几何意义，将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由方程
有正实数根，则等价于函数
有正零点，
由二次函数
的对称轴为
，则函数只能存在一正一负的两个零点，
则
，解得
，
故选：B.
4. 已知
，则函数
的最小值为
A. 
B. 
C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先分离，再根据基本不等式求最值，即得结果.
【详解】
，当且仅当
，即
时，等号成立.
选A
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
5. 
展开式中含
的系数是（ ）
A. 28 B. 
C. 84 D. 
【答案】C
【解析】
【分析】根据
展开式的通项，分别求出展开式中含
、
、的项的系数，即可得出答案.
【详解】展开式的通项为
，
.
当
选取
时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由
，可得
；
当选取
时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由
，可得
；
当选取
时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由
，可得
.
所以，展开式中含的系数是
.
故选：C.
6. 2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A. 40 B. 28 C. 20 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余4个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可.
【详解】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，
两个路口为
人分布，共有
种方案，
两个路口为
人分布，共有
种方案，
此时共有
种方案；
同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有种方案.
所以一共有28种不同的安排方案种数.
故选：B
7. 设
，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数
和
，利用导数求解单调性，即可判断.
【详解】当
时，记
，则
，故
在单调递增，故
，因此得当时，
，故
，即
；
，设，则
，因为
，
当
时，
．所以
在
上单调递增，所以
，即
，所以
．
故选：A
8. 设函数
的值域为A，若
，则的零点个数最多是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出各段函数的单调性，结合函数图象分类讨论，分别求出函数的零点个数，即可判断；
【详解】解：令
，则在
上单调递减；
令
，则
．由
，得
或
；
由
，得
，所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
于是，的极大值为
，极小值为
．在同一坐标系中作出函数和的图象，如下图：
显然
；由
，得
；由的解析式，得
．
（1）若
，当
时，
，不符合题意；
（2）若
，当
时，
，不符合题意；
（3）若
，
①当
时，
；
②当
时，
，即
．
由①②，时符合题意．
此时，结合图象可知，当
时，在
上没有零点，在
上有2个零点；
当
时，在上有1个零点，在上有1个或2个零点，
综上，最多有3个零点．
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织
名大一新生进行体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为
，
，
，
，
，
．则下列说法正确的是（ ）
A. 估计该样本的众数是
B. 估计该样本的均值是
C. 估计该样本的中位数是
D. 若测试成绩达到
分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为
人
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图，可判断A项；根据频率分布直方图，估计出平均数，可判断B项；根据频率分布直方图，估计出中位数，可判断C项；根据频率分布直方图，测试成绩达到分的频率为
，即可估算有资格参加评奖的人数.
【详解】对于A项，由频率分布直方图可得，最高小矩形为，所以可估计该样本的众数是
，故A项正确；
对于B项，由频率分布直方图，可估计该样本的均值是
，故B项错误；
对于C项，由频率分布直方图可得，成绩在
之间的频率为
，
在
之间的频率为
，
所以可估计该样本的中位数在内.
设中位数为
，则由
可得，
，故C项正确；
对于D项，由频率分布直方图可得，测试成绩达到分的频率为
，所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为
人，故D项正确.
故选：ACD.
10. 已知非零实数a，b满足
，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．
【详解】解：对于非零实数
，
满足，则
，
即
，故A一定成立；
因为
，故B一定成立；
又
，即
，所以
，故C一定成立；
对于D：令
，
，满足，此时
，故D不一定成立．
故选：ABC
11. 下列关于概率统计说法中正确的是
（ ）
A. 两个变量
的相关系数为
，则越小，与
之间的相关性越弱
B. 设随机变量
服从正态分布
，若
，则
C. 在回归分析中，
为
的模型比为
的模型拟合的更好
D. 某人在
次答题中，答对题数为
，
，则答对
题的概率最大
【答案】BCD
【解析】
【分析】由相关系数，正态分布，二项分布的概念判断．
【详解】对于A，两个变量的相关系数为，
越小，与之间的相关性越弱，故A错误，
对于B，随机变量服从正态分布，由正态分布概念知若，则，故B正确，
对于C，在回归分析中，越接近于，模型的拟合效果越好，所以为的模型比为的模型拟合的更好，故C正确，
对于D，某人在次答题中，答对题数为，，则数学期望
，说明答对题的概率最大，故D正确．
故选：BCD
12. 已知函数
，若不等式
对任意
恒成立，则实数的取值可能是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】BC
【解析】
【分析】令
，得到
，推得
为偶函数，得到的图象关于
对称，再利用导数求得当时，单调递增，当
时，单调递减，把不等式转化为
恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，
令，则
，可得，
可得
，
所以为偶函数，即函数的图象关于对称，
又由
，令
，
可得
，所以
为单调递增函数，且
，
当时，
，单调递增，即时，单调递增；
当
时，
，单调递减，即时，单调递减，
由不等式，可得
，即
所以不等式恒成立，即
恒成立，
所以
的解集为
，所以
且
，
解得
，结合选项，可得BC适合.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题关键是利用换元法设，从而得到，证明其为偶函数，则得到的图象关于对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 若命题“
”是假命题，则实数的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由题知命题的否定“
”是真命题．令
，则
解得
，故实数的最大值为
故答案为：
14. 已知向量
满足
，则
与
的夹角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】由
，
，
故答案为：
15. 已知
，
为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若
，则C的离心率为______．
【答案】．
【解析】
【分析】利用椭圆的定义及，得到
，进而得解.
【详解】
为椭圆
上一点，由椭圆的定义知，
，
因为
，
所以，所以
.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解及椭圆的定义，属于基础题.
16. 某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占
，高二60人中女生占
，则从中抽取1人恰好是女生的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件概率公式即可求解.
【详解】用
分别表示取的一人是来自高一和高二，表示抽取一个恰好是女生，则由已知可知：
,且
,
所以
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在
中，
=60°，c=
a.
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可，
（2）求出
，再利用余弦定理求出，然后利用三角形面积公式可求得答案
【小问1详解】
在中，因为
，
，
所以由正弦定理得
.
【小问2详解】
因为
，所以
.
由余弦定理
得
，
解得
或
（舍）.
所以的面积
.
18. 设
为函数的导函数，已知
，且的图像经过点
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求函数在
上的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为
和
；单调递减区间为
【解析】
分析】(1)求导，计算
得到切线斜率，点斜式求切线方程.
(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.
【小问1详解】
，则
，得
．
由题意
，可得曲线在点处的切线方程为
，即．
【小问2详解】
由已知得
．
又由（1）知，所以
．
故
．
，
由
，得
，或
；由
，得
．
故在上的单调递增区间为
和；单调递减区间为．
19. 已知图1是由等腰直角三角形
和菱形
组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，
，
．将三角形沿
折起，使得平面
平面（如图2）．
（1）求证：
；
（2）求二面角
的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点
，连接
，
，则
，再结合已知面面垂直可得
平面，则
，而
，再由线面垂直的判定可得
面
，从而可证得，
（2）以
，，
所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，．
∵
，∴．
又∵平面平面，且平面
平面
，
平面
，
∴平面．
∵
平面，∴．
∵在菱形中，， ∴
为等边三角形，
∵的中点为，∴
，
∵∥
，∴
∵
，
平面，
∴平面，∵
平面，∴
．
【小问2详解】
由（1）平面，∵
平面，∴
，
∵，
∴如图,以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则
，
∴
，
，
．
设平面
的法向量为
，则
，不妨设
，则
．
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
设二面角的大小为
，由图可知为钝角，
∴
，∴
．
∴二面角的正弦值为．
20. 已知数列
的首项
，且满足
，设
.
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）若
，求满足条件的最小正整数
.
【答案】（1）证明见解析
（2）140
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和的方法得到
，然后利用
的增减性解不等式即可.
【小问1详解】
，
，所以数列为首项为
，公比为等比数列.
【小问2详解】
由（1）可得
，
即
∴
而随着的增大而增大
要使，即
，则
，
∴的最小值为140.
21. 已知椭圆E:
与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且
是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2
与椭圆E交于不同的两点A,B.
（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；
（2）求
的面积的最大值.
【答案】（1）
;（2）
.
【解析】
【详解】（1）因为
是边长为2的等边三角形，
所以
，
，
，所以
，
所以椭圆
：
，点
.
将直线
代入椭圆的方程，
整理得：
，（*）
设
，则由（*）式可得
，
所以
，
，
，
所以直线
的斜率之积
所以直线斜率之积是定值.
（2）记直线与轴的交点为
，
则
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
的面积的最大值为.
22. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
（1）若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为
，
，且
，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】（1）分布列见解析，
（2）11轮
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；
（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.
【小问1详解】
由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
所以
．
【小问2详解】
他们在每轮答题中取得胜利的概率为
，
由
，
，，得
，
则
，因此
，
令
，
，于是当
时，
．
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值
．
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则
，
，
由
，即
，解得
．
而
，则
，所以理论上至少要进行11轮答题．
