成都市高三第二次诊断性考试 数学(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
1.复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )
A. B.- C.-1 D.1
2.设全集,集合,,则=( )
A. B. C. D.
3.某中学有高中生1500人,初中生1000人,为了解该校学生自主锻炼的时间,采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本。若样本中高中生恰有30人,则n的值为( )
A.20 B.50 C.40 D.60
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知锐角满足,则=( )
A. B.1 C.2 D.4
6.函数在的图象大致为( )
A B C D
7.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为( )
A.16 B.48 C.96 D.128
8.已知函数,则函数的图象的对称轴方程为( )
A. B.
C. D.
9.如图,双曲线的左,右交点分别是,,直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若,则双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
10.在正方体中,点分别为的中点,过点作平面使,若直线,则的值为( )
A. B. C. D.
11.已知为圆的一条直径,点的坐标满足不等式组,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,若存在,使得成立,则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.
13.的展开式中x2的系数为 。
14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,a=2,b=,则△ABC的面积为 。
15.已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O的表面上,若球O的表面积为28π,则该三棱柱的侧面积为 。
16.经过椭圆中心的直线与椭圆相交于M,N两点(点M在第一象限),过点M作x轴的垂线,垂足为点E,设直线NE与椭圆的另一个交点为P.则cos∠NMP的值是 。
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知是递增的等比数列,a1=1,且2a2,,成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,。求数列{bn}的前n项和Sn.
18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,O是边长为4的正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,E为BC的中点.(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBD;(Ⅱ)若PE=3,求二面角D一PE一B的余弦值.
19.(12分)某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
年利润y(单位:亿元) | 29 | 33 | 36 | 44 | 48 | 52 | 59 |
(Ⅰ)求y关于x的线性回归方程,并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润;(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(Ⅰ)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为A级利润年,否则称为B级利润年,将(Ⅰ)中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值,现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年,求恰有1年为A级利润年的概率.
参考公式:
20.(12分)已知椭圆的左,右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点P在椭圆E上,PF2⊥F1F2,且|PF1|=3|PF2|.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;(Ⅱ)设直线l:x=my+1(m∈R)与椭圆E相交于A,B两点,与圆x2+y2=a2相交于C,D两点,求|AB|·|CD|2的取值范围.
21.(12分) 已知函数,其中m∈R.(Ⅰ)当m>0时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)设,若,在上恒成立,求实数m的最大值.
请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(m为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;(Ⅱ)已知点P(2,1)设直线l与曲线C相交于M,N两点,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5;不等式选讲)已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|.(Ⅰ)解不等式f(x)≥6;
(Ⅱ)设g(x)=-x2+2ax,其中a为常数若方程f(x)=g(x)在(0,+∞)上恰有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.
答案
第一卷
1C 2A 3B 4D 5C 6B 7B 8C 9A 10B 11D 12C
第二卷
- 6 14. 15. 36 16. 0