一元二次方程的解法 解题步骤是什么

2021-12-18 14:43

一元二次方程的解法有公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。其中ax²叫作二次项,a是二次项系数;bx叫作一次项,b是一次项系数;c叫作常数项。

怎样求解一元二次方程

方法一、公式法

先判断△=b²-4ac,

若△<0原方程无实根;

若△=0,

原方程有两个相同的解为:

X=-b/(2a);

若△>0,

原方程的解为:

X=((-b)±√(△))/(2a)。

方法二、配方法

先把常数c移到方程右边得:

aX²+bX=-c

将二次项系数化为1得:

X²+(b/a)X=- c/a

方程两边分别加上(b/a)的一半的平方得:

X²+(b/a)X +(b/(2a))²=- c/a +(b/(2a))²

方程化为:

(b+(2a))²=- c/a +(b/(2a))²

①、若- c/a +(b/(2a))²<0,原方程无实根;

②、若- c/a +(b/(2a))² =0,原方程有两个相同的解为X=-b/(2a);

③、若- c/a +(b/(2a))²>0,原方程的解为X=(-b)±√((b²-4ac))/(2a)。

方法三、直接开平方法

形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n

方法四、因式分解法

将一元二次方程aX²+bX+c=0化为如(mX-n)(dX-e)=0的形式可以直接求得解为X=n/m,或X=e/d。

一元二次方程求解例题分析

一、直接开平方法

对于直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解,不要漏解,如果是两个相等的解,也要写成x1=x2=a的形式,其他的都是比较简单。

例1.解关于x的方程:x^2-6x+9=(5-2x)^2

解析:原方程化简得(x-3)^2=(5-2x)^2, x-3=±(5-2x)解得x1=2,x2=8/3。

难度不大,只要记住有两个解,千万别漏。

二、配方法

在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的,如果是则利用直接开平方法求解即可,如果不是,原方程就没有实数解.

例2.用配方法解关于x的方程x^2+px+q=0(p,q为已知常数)

一元二次方程的解法 解题步骤是什么

三.公式法

公式法是解一元二次方程的根本方法,没有使用条件,因此是必须掌握的。用公式法的注意事项只有一个就是判断“△”的取值范围,只有当△≥0时,一元二次方程才有实数解.

例3.用公式法解关于x的一元二次方程(m-1)x^2+(2m-1)x+m-3=0.

一元二次方程的解法 解题步骤是什么

四、因式分解法

因式分解,在初二下学期的时候重点讲了,之前也有相关的文章,重要性毋庸置疑,在一元二次方程里,因式分解法用的还是挺多的,难度非常容易调节,所以也是考试出题老师非常喜欢的一类题型。我们重点讲一下这个方法的例题。

例4.用因式分解法求解3x^2-4x-4=0的根

解析:3x^2-4x-4=0根据十字相乘法分解得(3x+2)(x-2)=0因此得出x1=-2/3,x2=2

例5. 用因式分解法进行解方程,9(x-2)^2-16(x+1)^2=0

解析:这个是利用平方差公式进行因式分解的题目,原方程化为(7x-2)(x+10)=0,然后解得x1=2/7,x2=-10.

利用因式分解法是解一元二次方程的时候最常用的一种方法,因为这种方法非常灵活。简单一点的就如同例4,难一点的可能就是含参类的。

智选大学

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